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Vous êtes arrivé sur ce site et vous vous demandez ce que tout cela veut bien dire.
La tâche est compliquée parce que je ne vous connais pas, je vais cependant essayer de vous guider.
GEOMETRIE ALGEBRIQUE
Il s'agit du domaine qui étudie les ensembles définis par des équations polynomiales; ce choix permet aussi des démarches algorithmiques.
Les textes présentés sont relatifs à domaine de ma thèse, ils concernent des fibrés vectoriels sur des courbes ou des surfaces; si vous avez besoin d'un peu d'aide pensez à un champ de vecteurs « au-dessus d'une courbe ou d'une surface ».
Le texte sur les coordonnées de Plücker est plus élémentaire, il décrit une correspondance entre l'ensemble des quadrilatères du plan et un ensemble des points d'un espace de dimension 5. Le résultat est connu, la démonstration est originale et élémentaire; la forme classique des coordonnées de Plücker (et des relations du même nom) fait appel à des outils plus sophistiqués.
ALGEBRE COMMUTATIVE
L' Algèbre Commutative étudie (entre autres) des ensembles de nombres ou de polynômes et les propriétés des opérations + et ×. L'article publié avait pour objet d'établir les raisons théoriques qui expliquent, en employant les outils de la Géométrie Algébrique, des exemples numériques trouvés par le Mathématicien Français Pierre Samuel.
ALGEBRE LINEAIRE
C'est le domaine des vecteurs et des applications linéaires; c'est le coeur de la formation en classe préparatoire.
L'article sur l' équation AM=MB fournit une démonstration nouvelle d'un Théorème de Frobenius-Ceccioni et le complète par un résultat original sur le rang maximal des matrices M qui vérifient l'équation AM=MB.
L'article sur les matrices normales a pour objet de démontrer des résultats classiques sans faire appel aux complexes; il était motivé par une réduction des programmes de classe préparatoire et la nécessité d'établir ces résultats avec des « moyens limités ».
Les matrices de Markov sont un outil fondamental en probabilités, l'objectif de cet article était de constituer une étude de leurs propriétés totalement indépendante des interprétations ou motivations probabilistes.
Un polyèdre est un ensemble de points défini par un système d'inéquations affines; ces inéquations pourraient être incompatibles. L'article fournit une démarche algorithmique pour vérifier si le système est compatible, il utilise la technique classique du simplexe, qui est la « reine » de ce domaine.
L'article sur les matrices et les polynômes s'appuie sur l'usage des matrices-compagnons pour établir des propriétés topologiques d'ensembles de polynômes, alors que le point de vue classiques est plutôt l'inverse.
L'article sur l'Algèbre engendrée par deux matrices qui commutent entre elles a pour objet la caractérisation effective, et au moyen d'outils plutôt élémentaires, de la dimension de cette Algèbre; ces mêmes outils sont appliqués aussi à une question de nilpotence.
Le petit article « Une question de signe » permet de réduire des systèmes d'équations linéaires AX=B, où les coefficients de la matrice A et du vecteur B sont quelconques au cas de coefficients positifs; cela sera d'une grande utilité dans le cas d'une recherche de solutions entières (voir le titre Bases standard); il est inspiré par une idée de Conti et Traverso, qui exigeait un emploi de polynômes, mais ici il sera possible de se contenter de vecteurs à coefficients entiers (voir le titre Bases standard vectorielles).
L'article « Automorphismes » étudie les automorphismes de l'Algèbre engendrée par une matrice; la recherche des « symétries » internes d'une structure est une question classique.
ARITHMETIQUE
L'Arithmétique étudie sous divers aspects l'ensemble des nombres entiers; la simplicité apparente de l'objet invite à l'expérimentation, c'est ainsi que j'ai été conduit à formuler une conjecture.
La conjecture PT est vraisemblablement très difficile à démontrer, elle a été vérifiée pour tous les entiers jusqu'à 2×108; elle a été communiquée à plusieurs spécialistes du domaine.
Elle pourrait fournir de nouvelles pistes pour rechercher de grands nombres premiers (attention: rechercher ne signifie pas « prouver la primalité »).
Les produits infinis « à la Cantor » étendent un résultat de Cantor et fournissent une méthode d'approximation rapide de nombres irrationnels quadratiques , c'est à dire solutions d'une équation du second degré dont les coefficients sont entiers.
La recherche de la possibilité d'étendre à la dimension deux le Théorème de Bezout et le problème de Frobenius m'a conduit à distinguer le cône entier engendré par deux vecteurs et le sous-groupe qu'ils engendrent (ceux que l'on peut construire à partir de ces vecteurs), la différence entre eux faisant apparaître éventuellement des « trous » dans le cône ; là est intervenue la notion de suite de rationnels adjacents (sur le modèle xi + 1yi-xiyi + 1=1) minimale qui permet la description de la décomposition des cônes en cônes parfaits (c'est à dire sans trous). Ces suites se situent dans le contexte des suites de Farey et de l'arbre de Stern-Brocot.
En conclusion, l'ensemble fini de valeurs qui manque dans le problème de Frobenius en dimension un est devenu en dimension deux un ensemble fini de générateurs qu'il est nécessaire d'ajouter.
Le codage des termes de l'arbre de Stern-Brocot permet de déterminer la longueur d'une suite minimale de rationnels adjacents.
GEOMETRIE NON EUCLIDIENNE
Il s'agit d'une traduction d'un classique en langue espagnole (avec la collaboration active de Ada Teller).
SYSTEMES DYNAMIQUES
Il s'agit du domaine des Mathématiques qui étudie des processus itératifs et leur comportement « à l'infini ».
La promenade chaotique étudie trois exemples construits sur le même modèle: on part d'un élément, on effectue une application, puis on choisit un antécédent dans un domaine fondamental et on recommence…C'est l'occasion de tester les différents éléments de la notion mathématique de chaos.
L'article sur les systèmes différentiels étudie de tels processus mais cette fois en temps continu et considère la contrôlabilité c'est à dire la possibilité d'influer en quelque sorte comme un cavalier qui maîtriser sa monture.
PETITS ALGORITHMES
Le premier décrit la résolution dynamique (c'est à dire en fonction des données telles qu'en temps réel) et non statique (c'est à dire en fonction des données telles qu'au début du processus).
Le deuxième est une extension au cas de n variables de l'algorithme de Bezout étendu.
BASES STANDARD
Les bases standard ont été développées dans le cadre de la Géométrie Algébrique afin de permettre l'extension de la notion de division euclidienne aux polynômes à plusieurs variables (à diviser non par un mais par une famille finie de polynômes et avec l'assurance que le reste obtenu ne dépendra pas de l'ordre dans lequel on traite la famille de polynômes diviseurs); on peut essayer d'en décrire le principe comme l'ajout à un réseau d'autoroutes d'un réseau supplémentaire de routes secondaires permettant de corriger des erreurs d'orientation en changeant autant que nécessaire d'autoroutes.
Les Bases standard vectorielles sont une adaptation originale de l'idée décrite au-dessus, appliquée au cas de vecteurs à coordonnées entières que l'on désire décomposer en une combinaison linéaire de vecteurs d'une famille donnée et d'un reste « absolument indécomposable ». Elles facilitent et étendent le domaine d'application des bases standard.
Cette technique est justifiée par des démonstrations spécifiques et appliquée dans divers contextes.
La programmation linéaire en entiers (recherche de données entières optimisant une fonction sous des contraintes linéaires fixées).
La recherche de points à coordonnées entières dans un polyèdre défini par des équations dont les coefficients sont des entiers.
Le problème des monnaies de Frobenius peut être décrit de la manière suivante: étant données des pièces de a,b,c, …, z Euros déterminer s'il existe une somme maximale parmi celles que l'on ne peut payer (exactement) avec ces pièces et, si oui, la déterminer.
L'existence est établie depuis longtemps et la détermination dans chaque cas spécifique a été l'objet de divers algorithmes; les bases standard permettent la détermination et il est possible qu'elles permettent la démonstration de l'existence.
A mon tour de vous demander, si vous trouvez des coquilles ou des erreurs de m'en prévenir; merci d'avance.
Paris Janvier 2017